Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB，AB=AA₁，∠BAA₁=60°．
（Ⅰ）證明：AB⊥A₁C；
（Ⅱ）若AB=CB=2，A₁C=

6

，求二面角B-AC=A₁的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）取AB中點(diǎn)O，連CO，OA₁，A₁B，由題設(shè)條件推導(dǎo)出△A₁AB為正三角形，從而得到A₁O⊥AB，由CA=CB，得到CO⊥AB，由此能夠證明AB⊥A₁C．
（Ⅱ）以O(shè)A為x軸，以O(shè)A₁為y軸，以O(shè)C為z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，利用向量法能求出二面角B-AC=A₁的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：取AB中點(diǎn)O，連CO，OA₁，A₁B，
∵AB=AA₁，∠BAA₁=60°，
∴△A₁AB為正三角形，
∴A₁O⊥AB，
∵CA=CB，∴CO⊥AB，
∵CO∩A₁O=O，
∴AB⊥平面COA₁，
∵A₁C?平面COA₁，
∴AB⊥A₁C．
（Ⅱ）解：∵AB=CB=2，AB=AA₁，CA=CB，∠BAA₁=60°，
∴CO=A₁O=

22-1

=

3

，
∵A₁C=

6

，
∴CO2+A1O2=A1C2，
∴OC⊥A₁O，
∵OC∩AB=O，∴A₁O⊥平面ABC，
建立如圖空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
O（0，0，0），A（1，0，0），A1(0，

3

，0)，C（0，0，

3

），
設(shè)平面AA₁C的法向量為

n

=(x1，y1，z1)，
則

n

•

AA1

=0，

n

•

AC

=0，
∴

-x1+ 3 y1=0 -x1+ 3 z1=0

，
∴

n

=（

3

，1，1），
平面向量ACB的法向量

m

=（0，1，0），
cos＜

m

，

n

＞=

1

5

=

5

5

．
∴二面角B-AC=A₁的余弦值為

5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要注意向量法的合理運(yùn)用．