Question

設(shè)函數(shù)f（x）對任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且當x＞0時，f（x）＜0，f（1）=-2
（1）證明f（x）為奇函數(shù)．
（2）證明f（x）在R上是減函數(shù)．
（3）若f（2x+5）+f（6-7x）＞4，求x的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由于函數(shù)f（x）對任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），令x=y=0，可得f（0）=0．
再令y=-x，可得f（x-x）=f（x）+f（-x），即 0=f（x）+f（-x），化簡可得f（-x）=-f（x），故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（2）設(shè)x₁＜x₂，則△=x₂-x₁＞0，∵f（x+y）=f（x）+f（y），∴f（ x₂-x₁ ）=f（x₂）-f（x₁）．
再由當x＞0時，f（x）＜0，可得 f（ x₂-x₁ ）＜0，即-f（x₁）+f（x₂）＜0，故有f（x₁）＞f（x₂），
故f（x）在R上是減函數(shù)．
（3）若f（2x+5）+f（6-7x）＞4，則f（2x+5+6-7x）=f（11-5x）＞4．
再由f（1）=-2，可得f（ 11-5x）＞f（-2），結(jié)合f（x）在R上是減函數(shù)可得 11-5x＜-2，解得x＞，
故x的范圍為 （，+∞）．
分析：（1）在所給的等式中，令x=y=0，可得f（0）=0．再令y=-x，可得f（-x）=-f（x），可得函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（2）設(shè)x₁＜x₂，則△=x₂-x₁＞0，根據(jù)f（ x₂-x₁ ）=-f（x₁）+f（x₂）；以及當x＞0時，f（x）＜0，可得 f（ x₂-x₁ ）＜0，即-f（x₂）-f（x₁）
＜0，即f（x₁）＞f（x₂），可得f（x）在R上是減函數(shù)．
（3）若f（2x+5）+f（6-7x）＞4，則f（11-5x）＞4，即f（ 11-5x）＞f（-2），結(jié)合f（x）在R上是減函數(shù)可得 11-5x＜-2，由此解得x的范圍．
點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用，屬于中檔題．