Question

已知a∈R，函數f（x）=ax²+2x-3-a+

4

a

，求f（x）在[0，1]上的值域．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：分類討論,函數的性質及應用

分析：本題可以先對二次項系數進行分類討論，以確定拋物線的開口方向，再對拋物線的對稱軸位置進行分類討論，確定圖象特征，得到最值情況，從而得出本題結論．

解答： 解：∵函數f（x）=ax²+2x-3-a+

4

a

，
∴a≠0，函數f（x）的圖象是拋物線，對稱軸方程為x=-

1

a

．
（1）當a＞0時，-

1

a

＜0，
∴拋物線開口向上，對稱軸在區(qū)間左邊，函數f（x）在[0，1]上單調遞增．
∴f（0）≤f（x）≤f（1），即-3-a+

4

a

≤f（x）≤-1+

4

a

，
∴函數f（x）在[0，1]上的值域為[-3-a+

4

a

，-1+

4

a

]；
（2）當a＜0時，-

1

a

＞0，
∴拋物線開口向下．
①當0＜-

1

a

＜

1

2

，即a＜-2時，
拋物線的對稱軸在區(qū)間[0，1]內偏左，
∴f（1）≤f（x）≤f（-

1

a

），即-1+

4

a

≤f（x）≤-3-a+

1

a

，
∴函數f（x）在[0，1]上的值域為[-1+

4

a

，-3-a+

1

a

]；
②當

1

2

≤-

1

a

≤1，即-2≤a≤-1時，
拋物線的對稱軸在區(qū)間[0，1]內偏右，
∴f（0）≤f（x）≤f（-

1

a

），即-3-a+

4

a

≤f（x）≤-3-a+

1

a

，
∴函數f（x）在[0，1]上的值域為[-3-a+

4

a

，-3-a+

1

a

]；
③當-

1

a

＞1，即-1＜a＜0時，
拋物線的對稱軸在區(qū)間[0，1]右，
∴f（0）≤f（x）≤f（1），即-3-a+

1

a

≤f（x）≤-1+

4

a

，
∴函數f（x）在[0，1]上的值域為[-3-a+

1

a

，-1+

4

a

]．
綜上，①當a＜-2時，函數f（x）在[0，1]上的值域為[-1+

4

a

，-3-a+

1

a

]；
②當-2≤a≤-1時，函數f（x）在[0，1]上的值域為[-3-a+

4

a

，-3-a+

1

a

]；
③當-1＜a＜0時，函數f（x）在[0，1]上的值域為[-3-a+

1

a

，-1+

4

a

]；
④當a＞0時，函數f（x）在[0，1]上的值域為[-3-a+

4

a

，-1+

4

a

]．

點評：本題考查了二次函數的值域求法，還考查了分類討論的數學思想，本題有一定的思維難度，屬于中檔題．