Question

假設(shè)某軍工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品每年需要固定投資100萬元，此外每生產(chǎn)1件該產(chǎn)品還需要增加投資1萬元．若年產(chǎn)量為x（x∈N^*）件，當(dāng)x≤20時(shí)，政府全年合計(jì)給予財(cái)政撥款額為（31x-x²）萬元；當(dāng)x＞20時(shí)，政府全年合計(jì)給予財(cái)政撥款額為（240+0.5x）萬元．記該工廠生產(chǎn)這種產(chǎn)品全年凈收入為y萬元．
（1）求y（萬元）與x（件）的函數(shù)關(guān)系式．
（2）該工廠的年產(chǎn)量為多少件時(shí)，全年凈收入達(dá)到最大，并求最大值．
（友情提示：年凈收入=政府年財(cái)政撥款額-年生產(chǎn)總投資）．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：計(jì)算題,應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，利用分段函數(shù)表示；
（2）利用分段函數(shù)求函數(shù)的最大值．

解答： 解：（1）當(dāng)0＜x≤20時(shí)，y=（31x-x²）-x-100=-x²+30x-100；
當(dāng)x＞20時(shí)，y=240+0.5x-100-x=140-0.5x．
故y=

-x2+30x-100，0＜x≤20 140-0.5x，x＞20

（x∈N）．
（2）當(dāng)0＜x≤20時(shí)，y=-x²+30x-100=-（x-15）²+125；
故當(dāng)x=15時(shí)，y取得最大值125；
當(dāng)x＞20時(shí)，y=140-0.5x為減函數(shù)，
則當(dāng)x=21時(shí)，y有最大值129.5；
故當(dāng)x=21時(shí)，y有最大值129.5．
故該工廠的年產(chǎn)量為21件時(shí)，全年凈收入達(dá)到最大，最大值為129.5萬元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力及分段函數(shù)的處理方法，屬于中檔題．