Question

9．已知兩圓的方程為x²+y²+6x+8y=0，x²+y²-6x-2y-26=0，判斷兩圓是否相交，若相交，求過(guò)兩交點(diǎn)的直線方程及兩點(diǎn)間的距離；若不相交，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 通過(guò)圓心距與半徑的關(guān)系確定圓的方程；兩圓方程相減得到公共弦的直線方程，再由點(diǎn)到直線的距離公式求公共弦長(zhǎng)．

解答 解：由已知圓的方程為x²+y²+6x+8y=0可寫(xiě)為（x+3）²+（y+4）²=25，圓心坐標(biāo)A（-3，-4），半徑為5．
x²+y²-6x-2y-26=0可寫(xiě)為（x-3）²+（y-1）²=36，
∴兩圓心之間的距離為：$\sqrt{{（3+3）}^{2}+{（1+4）}^{2}}$=$\sqrt{61}$，滿足6-5＜$\sqrt{61}$＜5+6，
即兩圓心之間的距離小于兩圓半徑之和大于兩圓半徑之差．
∴兩圓相交．
⊙A的方程與⊙B的方程左、右兩邊分別相減得12x+10y+26=0，
即6x+5y+13=0為過(guò)兩圓交點(diǎn)的直線的方程．
設(shè)兩交點(diǎn)分別為C、D，則CD：6x+5y+13=0．
點(diǎn)A到直線CD的距離為d=$\frac{|-18-20+13|}{\sqrt{61}}$=$\frac{25}{\sqrt{61}}$．
由勾股定理，得|CD|=2$\sqrt{{5}^{2}-\frac{{25}^{2}}{61}}$=$\frac{60\sqrt{61}}{61}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了兩圓位置關(guān)系的確定以及點(diǎn)到直線的距離公式的運(yùn)用；兩圓相交時(shí)，公共弦所在的直線是兩圓方程相減得到的方程．