Question

【題目】如圖，AC是圓O的直徑，點(diǎn)B在圓O上，∠BAC=30°，BM⊥AC交AC于點(diǎn)M，EA⊥平面ABC，F(xiàn)C∥EA，AC=4，EA=3，F(xiàn)C=1．
（Ⅰ）證明：EM⊥BF；
（Ⅱ）求平面BEF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：∵EA⊥平面ABC，BM平面ABC，∴EA⊥BM．
又∵BM⊥AC，EA∩AC=A，∴BM⊥平面ACFE，
而EM平面ACFE，∴BM⊥EM．∵AC是圓O的直徑，∴∠ABC=90°．
又∵∠BAC=30°，AC=4，∴ ，AM=3，CM=1．∵EA⊥平面ABC，F(xiàn)C∥EA，
∴FC⊥平面ABC．∴△EAM與△FCM都是等腰直角三角形．
∴∠EMA=∠FMC=45°．∴∠EMF=90°，即EM⊥MF（也可由勾股定理證得）．
∵M(jìn)F∩BM=M，∴EM⊥平面MBF．
而BF平面MBF，∴EM⊥BF．
（Ⅱ）延長EF交AC于G，連BG，過C作CH⊥BG，連接FH．由（1）知FC⊥平面ABC，BG平面ABC，∴FC⊥BG．
而FC∩CH=C，∴BG⊥平面FCH．∵FH平面FCH，∴FH⊥BG，∴∠FHC為平面BEF與平面ABC所成的
二面角的平面角．
在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AC=4，
∴ ，
由 ，得GC=2．
∵ ，
又∵△GCH∽△GBM，∴ ，則 ．
∴△FCH是等腰直角三角形，∠FHC=45°，
∴平面BEF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）根據(jù)線面垂直得到線與線垂直，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，得到兩個三角形是等腰直角三角形，有線面垂直得到結(jié)果．（Ⅱ）做出輔助線，延長EF交AC于G，連BG，過C作CH⊥BG，連接FH，做出∠FHC為平面BEF與平面ABC所成的二面角的平面角，求出平面角．
【考點(diǎn)精析】掌握直線與平面垂直的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道垂直于同一個平面的兩條直線平行．