Question

如圖，已知平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面為正方形，O₁，O分別為上、下底面的中心，且A₁在底面ABCD上的射影是O．
（1）求證：面O₁DC⊥面ABCD；
（2）若∠A₁AB=60°，求二面角C-AA₁-B大��；
（3）若點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱AA₁，BC上，且AE=2EA₁，問點(diǎn)F在何處時(shí)，EF⊥AD．

Answer 1

分析：（1）連AC，BD，A₁C₁，則O為AC，BD的交點(diǎn)，易知四邊形A₁OCO₁為平行四邊形，則A₁O||O₁C，而A₁O⊥平面ABCD則O₁C⊥平面ABCD，又O₁C?平面O₁DC，滿足面面垂直的判定定理可得結(jié)論；
（2）過點(diǎn)O作OM⊥AA₁，垂足為M，連接BM，由三垂線定理得AA₁⊥MB∴∠OMB為二面角C-AA₁-B的平面角，在三角形OMB中求出此角即可．
（3）作EH⊥平面ABCD，垂足為H，則EH||A₁O，點(diǎn)H在直線AC上，且EF在平面ABCD上的射影為HF．由三垂線定理及其逆定理，知EF⊥AD則CF=2BF，從而可知當(dāng)F為BC的三等分點(diǎn)（靠近B）時(shí)，有EF⊥AD；

解答：證明：（1）連AC，BD，A₁C₁，則O為AC，BD的交點(diǎn)，
O₁為A₁C₁，B₁D₁的交點(diǎn)．
由平行六面體的性質(zhì)知：A₁O₁||OC且A₁O₁=OC
∴四邊形A₁OCO₁為平行四邊形，A₁O||O₁C
又∵A₁O⊥平面ABCD∴O₁C⊥平面ABCD
又∵O₁C?平面O₁DC∴平面O₁DC⊥平面ABCD
解：（2）過點(diǎn)O作OM⊥AA₁，垂足為M，連接BM．∵A₁O⊥平面ABCD，∴A₁O⊥OB
又∵OB⊥OA∴OB⊥平面A₁AO．由三垂線定理得AA₁⊥MB∴∠OMB為二面角C-AA₁-B的平面角．
在Rt△AMB中，∠MAB=60°，∴MB=

3

2

AB
又∵BO=

2

2

AB，∴sin∠OMB=

6

3

∴∠OMB=arcsin

6

3

二面角C-AA₁-B的大小為 arcsin

6

3

（3）作EH⊥平面ABCD，垂足為H，則EH∥A₁O，點(diǎn)H在直線AC上，
且EF在平面ABCD上的射影為HF．
由三垂線定理及其逆定理，知EF⊥AD?FH∥AB
∵AE=2EA₁，∴AH=2HO，從而CH=2AH又∵HF∥AB，∴CF=2BF
從而EF⊥AD?CF=2BF∴當(dāng)F為BC的三等分點(diǎn)（靠近B）時(shí)，有EF⊥AD

點(diǎn)評：本題以平行六面體為載體，主要考查了面面垂直的判定和二面角的度量，求解二面角的關(guān)鍵是尋找二面角的平面角，同時(shí)考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．