如圖，在多面體ABCDE中，四邊形ABCD是正方形，AE⊥平面CDE，垂足為E，AE=3，CE=9，
（1）求證：平面ABCD⊥平面ADE；
（2）求二面角C-BD-E的平面角的余弦值．

（1）證明：∵AE⊥平面CDE，∴AE⊥CD
在正方形ABCD中，CD⊥AD
∵AD∩AE=A
∴CD⊥平面ADE
∵CD?平面ABCD
∴平面ABCD⊥平面ADE；
（2）解：∵CD⊥平面ADE，DE?平面ADE
∴CD⊥DE
又CE=9
設正方形ABCD的長為x
在直角△CDE中，DE2=CE2-CD2=81-x2
在直角△ADE中，DE2=AD2-AE2=x2-9
∴81-x2=x2-9
∴
∴DE=6
過點E作EF⊥AD于點F，過F作FH⊥BD于H，連接EH
∴∠FHE為二面角C-BD-E的平面角的補角
在直角△ADE中，
∵AD•EF=AE•DE，∴，
∴，∴
∴
在直角△DFH中，，
∴
∴二面角C-BD-E的平面角的余弦值為
分析：（1）證明平面ABCD⊥平面ADE，根據(jù)面面垂直的判定定理，只需在平面ABCD中找出平面ADE的一條垂線即可；
（2）過點E作EF⊥AD于點F，過F作FH⊥BD于H，連接EH，則∠FHE為二面角C-BD-E的平面角的補角，先求∠FHE的正弦，進而可得二面角C-BD-E的平面角的余弦值．
點評：本題以多面體為載體，考查面面垂直的判定，考查面面角，解題的關鍵是正確運用面面垂直的判定定理，正確作出面面角．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在多面體ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1
∥
.
BB1，AB=AC=AA1=
2
2
BC，B1C1
∥
.
1
2
BC．
（1）求證：A1B1⊥平面AA1C；
（2）求證：AB1∥平面A1C1C；
（3）求二面角C1-A1C-A的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在多面體ABC-A1B1C1中，四邊形A1ABB1是正方形，AB=AC，BC=
2
AB，B1C1
∥
.
.
1
2
BC，二面角A1-AB-C是直二面角．
（Ⅰ）求證：AB1∥平面 A1C1C；
（Ⅱ）求BC與平面A1C1C所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•青島二模）如圖，在多面體ABC-A1B1C1中，四邊形ABB1A1是正方形，AC=AB=1，A1C=A1B，B1C1∥BC，B1C1=
12
BC．
（Ⅰ）求證：面A1AC⊥面ABC；
（Ⅱ）求證：AB1∥面A1C1C．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•合肥一模）如圖，在多面體ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1⊥平面ABC，AA1∥=BB1，AB=AC=AA1=
2
2
BC，B1C1∥=
1
2
BC．
（1）求證：A1B1⊥平面AA1C；
（2）若D是BC的中點，求證：B1D∥平面A1C1C；
（3）若BC=2，求幾何體ABC-A1B1C1的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•鄭州二模）如圖，在多面體ABC-A1B1C1中，四邊形A1ABB1是正方形，AB=AC，BC=
2
AB，B1C1
∥
.
1
2
BC，二面角A1-AB-C是直二面角．
（I）求證：A1B1⊥平面AA1C； 
（II）求證：AB1∥平面 A1C1C；
（II）求BC與平面A1C1C所成角的正弦值．

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