【題目】如圖所示,四棱錐中,底面為正方形, 平面, ,點(diǎn)分別為的中點(diǎn).
(1)求證: ;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明略;
(2)
【解析】(1)證法1:∵平面, 平面,∴.
又為正方形,∴.
∵,∴平面.……………………………………………3分
∵平面,∴.
∵,∴.…………………………………………………………6分
證法2:以為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則, , , , .………4分
∵,∴.………6分
(2)解法1:以為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則, , , ,
, ,……………8分
設(shè)平面DFG的法向量為,
∵
令,得是平面的一個法向量.…………………………10分
設(shè)平面EFG的法向量為,
∵
令,得是平面的一個法向量.……………………………12分
∵.
設(shè)二面角的平面角為θ,則.
所以二面角的余弦值為.………………………………………14分
解法2:以為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,W
則, , , , ,
, , .………………………………8分
過作的垂線,垂足為,
∵三點(diǎn)共線,∴,
∵,∴,
即,解得.
∴.………………………………………………10分
再過作的垂線,垂足為,
∵三點(diǎn)共線,∴,
∵,∴,
即,解得.
∴.……………………………………………12分
∴.
∵與所成的角就是二面角的平面角,
所以二面角的余弦值為.………………………………………14分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】新個稅法于2019年1月1日進(jìn)行實(shí)施.為了調(diào)查國企員工對新個稅法的滿意程度,研究人員在地各個國企中隨機(jī)抽取了1000名員工進(jìn)行調(diào)查,并將滿意程度以分?jǐn)?shù)的形式統(tǒng)計成如下的頻率分布直方圖,其中.
(Ⅰ)估計被調(diào)查的員工的滿意程度的中位數(shù);(計算結(jié)果保留兩位小數(shù))
(Ⅱ)若按照分層抽樣從,中隨機(jī)抽取8人,再從這8人中隨機(jī)抽取4人,記分?jǐn)?shù)在的人數(shù)為,求的分布列與數(shù)學(xué)期望;
(Ⅲ)以頻率估計概率,若該研究人員從全國國企員工中隨機(jī)抽取人作調(diào)查,記成績在,的人數(shù)為,若,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知半圓:,、分別為半圓與軸的左、右交點(diǎn),直線過點(diǎn)且與軸垂直,點(diǎn)在直線上,縱坐標(biāo)為,若在半圓上存在點(diǎn)使,則的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本題滿分12分)袋中裝有黑色球和白色球共7個,從中任取2個球都是白色球的概率為.現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸出1個球,甲先摸,乙后摸,然后甲再摸,……,摸后均不放回,直到有一人摸到白色球后終止.每個球在每一次被摸出的機(jī)會都是等可能的,用X表示摸球終止時所需摸球的次數(shù).
(1)求隨機(jī)變量X的分布列和均值E(X);
(2)求甲摸到白色球的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】記無窮數(shù)列的前項(xiàng)中最大值為,最小值為,令.
(1)若,寫出,,,的值;
(2)設(shè),若,求的值及時數(shù)列的前項(xiàng)和;
(3)求證:“數(shù)列是等差數(shù)列”的充要條件是“數(shù)列是等差數(shù)列”.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知U=R且A={x|a2x2-5ax-6<0},B{x||x-2|≥1}.
(1)若a=1,求(UA)B;
(2)求不等式a2x2-5ax-6<0(a∈R)的解集.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四棱錐中,平面平面,底面為矩形,,,,、分別為線段、上一點(diǎn),且,.
(1)證明:;
(2)證明:平面,并求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=2,AB//DC,AB=2CD,∠BCD=90°.
(1)求證:AD⊥PB;
(2)求點(diǎn)C到平面PAB的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若無窮數(shù)列滿足:只要,必有,則稱具有性質(zhì).
(1)若具有性質(zhì),且, ,求;
(2)若無窮數(shù)列是等差數(shù)列,無窮數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列, , , 判斷是否具有性質(zhì),并說明理由;
(3)設(shè)是無窮數(shù)列,已知.求證:“對任意都具有性質(zhì)”的充要條件為“是常數(shù)列”.
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