Question

已知函數(shù)f(x)＝aln x＝(a為常數(shù))．
(1)若曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與直線x＋2y－5＝0垂直，求a的值；
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(3)當x≥1時，f(x)≤2x－3恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

（1）a＝1（2）f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，＋∞)，單調(diào)減區(qū)間為（3）a≤1.

(1)函數(shù)f(x)的定義域為{x|x＞0}，f′(x)＝.
又曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與直線x＋2y－5＝0垂直，
所以f′(1)＝a＋1＝2，即a＝1.(4分)
(2)由f′(x)＝ (x＞0)，
當a≥0時，
f′(x)＞0恒成立，所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，＋∞)．
當a＜0時，
由f′(x)＞0，得0＜x＜－，
所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為；
由f′(x)＜0，得x＞－，
所以f(x)的單調(diào)減區(qū)間為.(10分)
(3)設(shè)g(x)＝aln x－－2x＋3，x∈[1，＋∞)，
則g′(x)＝＋－2＝.
令h(x)＝－2x²＋ax＋1，考慮到h(0)＝1＞0，
當a≤1時，
h(x)＝－2x²＋ax＋1的對稱軸x＝＜1，
h(x)在[1，＋∞)上是減函數(shù)，h(x)≤h(1)＝a－1≤0，
所以g′(x)≤0，g(x)在[1，＋∞)上是減函數(shù)，
所以g(x)≤g(1)＝0，即f(x)≤2x²－3恒成立．
當a＞1時，
令h(x)＝－2x²＋ax＋1＝0，
得x₁＝＞1，x₂＝＜0，
當x∈[1，x₁)時，h(x)＞0，即g′(x)＞0，
g(x)在[1，x₁)上是增函數(shù)；
當x∈(x₁，＋∞)時，h(x)＜0，即g′(x)＜0，
g(x)在(x₁，＋∞)上是減函數(shù)．
所以0＝g(1)＜g(x₁)，即f(x₁)＞2x₁－3，不滿足題意．
綜上，a的取值范圍為a≤1.(16分)