Question

17．將一顆骰子投擲兩次得到的點數分別為a，b，則函數f（x）=ax³+bx²+x存在極值的概率為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{5}{9}$
• C． $\frac{7}{12}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 利用古典概型概率計算公式，先計算總的基本事件數，再根據要取得極值，導函數為0的方程恰有兩個不同的解，利用判別式，即可求得結論．

解答 解：f（x）=ax³+bx²+x，
∴f′（x）=3ax²+2bx+1，
∵f（x）=ax³+bx²+x存在極值，
∴f′（x）=3ax²+2bx+1=0恰有兩個不同的解，
∴△=4b²-12a＞0，即b²＞3a
設一顆骰子投擲兩次分別得到點數為（a，b），則這樣的有序整數對共有6×6=36個，
其中b²＞3a的有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，4），（4，5），（4，6），（5，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6）共20個，
則函數f（x）=ax³+bx²+x存在極值的概率為$\frac{20}{36}$=$\frac{5}{9}$．
故選：B．

點評 本題考查了古典概型概率的計算方法，導數和極值的關系，屬于中檔題．