Question

（本小題滿分13分）如圖，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，左、右頂點(diǎn)分別為、，上頂點(diǎn)為，拋物線、分別以、為焦點(diǎn)，其頂點(diǎn)均為坐標(biāo)原點(diǎn)，與相交于直線上一點(diǎn).
（Ⅰ）求橢圓及拋物線、的方程；
（Ⅱ）若動(dòng)直線與直線垂直，且與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、,已知點(diǎn)，求的最小值.

Answer 1

（Ⅰ）橢圓C:，拋物線C₁：拋物線C₂：；
（Ⅱ）其最小值等于 .

(1)根據(jù)點(diǎn)P是三條曲線的交點(diǎn)，利用方程組可解出P點(diǎn)坐標(biāo)及a的值。
（2）設(shè)直線方程為，然后與橢圓方程聯(lián)立，消y得一元二次方程利用違達(dá)定得代入可建立關(guān)于b的方程，解出b再驗(yàn)證判斷式即可。
解：（Ⅰ）由題意，A（，0），B（0，），故拋物線C₁的方程可設(shè)為，C₂的方程為…………………………1分
由  得…………………………3分
所以橢圓C:，拋物線C₁：拋物線C₂：…………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直線OP的斜率為，所以直線的斜率為
設(shè)直線方程為
由，整理得…………………… 6分
因?yàn)閯?dòng)直線與橢圓C交于不同兩點(diǎn)，所以
解得              …………………………7分
設(shè)M（）、N（），則
……8分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408232158187451361.png" style="vertical-align:middle;" />
所以
………………………… 11分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823215818620594.png" style="vertical-align:middle;" />，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值
其最小值等于…………………………13分