Question

已知函數(shù)在上是偶函數(shù).對(duì)于都有成立。當(dāng)x_1，且時(shí)，都有，給出下列命題：①；②直線是函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸；③函數(shù)在上為增函數(shù)；④函數(shù)在上有四個(gè)零點(diǎn)，其中所有正確命題的序號(hào)為_______________.

Answer 1

① ② ④

解析試題分析：①：對(duì)于任意x∈R，都有f （x+6）=f （x）+f （3）成立，令x=-3，則f（-3+6）=f（-3）+f （3），又因?yàn)閒（x）是R上的偶函數(shù)，所以f（3）=0．
②：由（1）知f （x+6）=f （x），所以f（x）的周期為6，
又因?yàn)閒（x）是R上的偶函數(shù)，所以f（x+6）=f（-x），
而f（x）的周期為6，所以f（x+6）=f（-6+x），f（-x）=f（-x-6），
所以：f（-6-x）=f（-6+x），所以直線x=-6是函數(shù)y=f（x）的圖象的一條對(duì)稱軸．
③：當(dāng)x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂時(shí)，都有＞0
所以函數(shù)y=f（x）在[0，3]上為增函數(shù)，
因?yàn)閒（x）是R上的偶函數(shù)，所以函數(shù)y=f（x）在[-3，0]上為減函數(shù)
而f（x）的周期為6，所以函數(shù)y=f（x）在[-9，-6]上為減函數(shù)．
④：f（3）=0，f（x）的周期為6，
所以：f（-9）=f（-3）=f（3）=f（9）=0
函數(shù)y=f（x）在[-9，9]上有四個(gè)零點(diǎn)．
故答案為：①②④．
考點(diǎn)：本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)--單調(diào)性，周期性，奇偶性等。
點(diǎn)評(píng)：小綜合題，對(duì)函數(shù)的性質(zhì)及圖象的對(duì)稱性等解析了全面考查。