Question

8．已知點A（1，1），B，C是拋物線y²=x上三點，若∠ABC=90°，則AC的最小值為2．

Answer 1

分析 設(shè)出B，C的坐標(biāo)，求出AB，BC的斜率，由斜率乘積等于-1求得B，C兩點縱坐標(biāo)間的關(guān)系，由兩點間的距離公式得到|AC|，轉(zhuǎn)化為B的縱坐標(biāo)的函數(shù)，借助于基本不等式求最值．

解答 解：設(shè)B（${{y}_{1}}^{2}，{y}_{1}$），C（${{y}_{2}}^{2}，{y}_{2}$），
則${k}_{AB}=\frac{{y}_{1}-1}{{{y}_{1}}^{2}-1}=\frac{1}{{y}_{1}+1}$，${k}_{BC}=\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}=\frac{1}{{y}_{2}+{y}_{1}}$，
由∠ABC=90°，得k_AB•k_BC=-1，
即（y₁+1）（y₂+y₁）=-1，
∴${y}_{2}+{y}_{1}=-\frac{1}{{y}_{1}+1}$，${y}_{2}=-\frac{1}{{y}_{1}+1}-{y}_{1}=\frac{-1-{{y}_{1}}^{2}-{y}_{1}}{{y}_{1}+1}$，
${y}_{2}-1=\frac{-1-{{y}_{1}}^{2}-{y}_{1}}{{y}_{1}+1}-1$=$\frac{-{{y}_{1}}^{2}-2{y}_{1}-2}{{y}_{1}+1}$，
${y}_{2}+1=\frac{-1-{{y}_{1}}^{2}-{y}_{1}}{{y}_{1}+1}+1=\frac{-{{y}_{1}}^{2}}{{y}_{1}+1}$，
∴|AC|=$\sqrt{（{{y}_{2}}^{2}-1）^{2}+（{y}_{2}-1）^{2}}$=$\sqrt{（{y}_{2}-1）^{2}[（{y}_{2}+1）^{2}+1]}$
=$\sqrt{（\frac{-{{y}_{1}}^{2}-2{y}_{1}-2}{{y}_{1}+1}）^{2}[（-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{y}_{1}+1}）^{2}+1]}$=$\sqrt{[（{y}_{1}+1）+\frac{1}{{y}_{1}+1}]•[\frac{{{y}_{1}}^{4}}{（{y}_{1}+1）^{2}}+1]}$
不妨設(shè)y₁+1＞0，
∵$（{y}_{1}+1）+\frac{1}{{y}_{1}+1}≥2\sqrt{（{y}_{1}+1）•\frac{1}{{y}_{1}+1}}=2$，
當(dāng)且僅當(dāng)${y}_{1}+1=\frac{1}{{y}_{1}+1}$，即y₁=0時上式等號成立，
此時$\frac{{{y}_{1}}^{4}}{（{y}_{1}+1）^{2}}+1$取最小值1，
∴AC的最小值為2．
故答案為：2．

點評 本題考查了拋物線的簡單幾何性質(zhì)，考查了直線垂直的條件，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，考查了計算能力，是中檔題．