Question

已知命題p：對(duì)m∈[-1，1]，不等式a2-5a+3≥

m2+8

恒成立；命題q：方程x²+ax+4=0在實(shí)數(shù)集內(nèi)沒有解；若p和q都是真命題，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：通過求函數(shù)的最值解決不等式恒成立，求出命題p為真時(shí)a的范圍；利用二次方程根的判斷是通過判別式求出命題q為真a的范圍；求出兩個(gè)命題全真時(shí)a的范圍．

解答：解：∵m∈[-1，1]，∴

m2+8

∈[2

2

，3]，
因?yàn)閷?duì)m∈[-1，1]，不等式a2-5a+3≥

m2+8

恒成立，
可得a²-5a+3≥3，
∴a≥5或a≤0．
故命題p為真命題時(shí)，a≥5或a≤0．
又命題q：方程x²+ax+4=0在實(shí)數(shù)集內(nèi)沒有解，
∴△=a²-16＜0，∴-4＜a＜4．
故命題q為真命題時(shí)-4＜a＜4．
∵{a|a≥5或a≤0}∩{a|-4＜a＜4}={a|-4＜a≤0}．
a的取值范圍是：-4＜a≤0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查解決不等式恒成立常用分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值、判斷二次方程根的個(gè)數(shù)問題用判別式．