Question

點(diǎn)P是底邊長(zhǎng)為2正三棱柱表面上的動(dòng)點(diǎn)，MN是該棱柱內(nèi)切球的直徑，則

PM

•

PN

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專(zhuān)題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：由題意，問(wèn)題等價(jià)于已知MN是邊長(zhǎng)為2的正△ABC內(nèi)切圓的一條直徑，P為邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)，求

PM

•

PN

的取值范圍．建立直角坐標(biāo)系，利用正三角形的中心的性質(zhì)，可得內(nèi)切圓的半徑r=

3

3

．可得正△ABC內(nèi)切圓的方程為x²+（y-

3

3

）²=

1

3

．設(shè)P（t，0）（-1≤t≤1），M（x₀，y₀），N（-x₀，

2 3

3

-y₀）．再利用數(shù)量積運(yùn)算即可得出．

解答： 解：由題意，問(wèn)題等價(jià)于已知MN是邊長(zhǎng)為2的正△ABC內(nèi)切圓的一條直徑，P為邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)，求

PM

•

PN

的取值范圍．
如圖所示，
∵⊙D是邊長(zhǎng)為2的正△ABC內(nèi)切圓，
∴內(nèi)切圓的半徑r=

1

3

|OC|=

3

3

．
∴正△ABC內(nèi)切圓的方程為x²+（y-

3

3

）²=

1

3

．
設(shè)P（t，0）（-1≤t≤1），M（x₀，y₀），N（-x₀，

2 3

3

-y₀）．
∴x₀²+（y₀-

3

3

）²=

1

3

，即x₀²+y₀²-

2 3

3

y₀=0．
∴

PM

•

PN

=t²-（x₀²+y₀²-

2 3

3

y₀）=t²，
∵-1≤t≤1．
∴t²∈[0，1]．
∴

PM

•

PN

的取值范圍的取值范圍是[0，1]．
故答案為：[0，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正三角形的中心的性質(zhì)、內(nèi)切圓的方程、數(shù)量積的運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．