Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=2a_n-1，數(shù)列{b_n}滿足b₁=3，b_n+1=a_n+b_n（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）是否存在非零實(shí)數(shù)k，使得數(shù)列{kT_n+k²a_n}為等差數(shù)列，證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）n=1時，a₁=S₁=2a₁-1，解得a₁=1．n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-1-2a_n-1+1，a_n=2a_n-1，從而{a_n}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，由此求出an=2n-1．
（2）由已知得b_n+1-b_n=a_n=2^n-1，由此能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．
（3）設(shè)c_n=kT_n+k²a_n=(k+

1

2

k2)•2n+k（2n-1），從而c_n+1-c_n=（k+

1

2

k2）•2ⁿ+2k，由此能求出存在實(shí)數(shù)k=-2，使得數(shù)列{kT_n+k²a_n}為首項(xiàng)為-2，公差為-4的等差數(shù)列．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=2a_n-1，
∴n=1時，a₁=S₁=2a₁-1，解得a₁=1．
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-1-2a_n-1+1，
∴a_n=2a_n-1，
∴

an

an-1

=2．
∴{a_n}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴an=2n-1．
（2）∵數(shù)列{b_n}滿足b₁=3，b_n+1=a_n+b_n（n∈N^*），
∴b_n+1-b_n=a_n=2^n-1，
∴b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）
=3+1+2+2²+…+2^n-2
=3+

1-2n-1

1-2

=2^n-1+2．
∴T_n=1+2+4+…+2^n-1+2n
=

1-2n

1-2

+2n
=2ⁿ+2n-1．
（3）設(shè)c_n=kT_n+k²a_n
=k•2ⁿ+k（2n-1）+k²•2^n-1
=(k+

1

2

k2)•2n+k（2n-1），
∵c_n+1-c_n=（k+

1

2

k2）•2ⁿ+2k，
∴若存在非零實(shí)數(shù)k，使得數(shù)列{kT_n+k²a_n}為等差數(shù)列
則k+

1

2

k2=0，∵k≠0，∴k=-2，
∴c₁=-2（2-1）=-2，c_n+1-c_n=-4，
∴存在實(shí)數(shù)k=-2，使得數(shù)列{kT_n+k²a_n}為首項(xiàng)為-2，公差為-4的等差數(shù)列．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，考查是否存在非零實(shí)數(shù)k，使得數(shù)列{kT_n+k²a_n}為等差數(shù)列的判斷與求法，解題時要注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用．