Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B與點(diǎn)A（-1，1）關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，P是動(dòng)點(diǎn)，且直線AP與BP的斜率之積等于-

1

3

．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)直線AP和BP分別與直線x=3交于點(diǎn)M，N，問(wèn)：是否存在點(diǎn)P使得△PAB與△PMN的面積相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），先分別求出直線AP與BP的斜率，再利用直線AP與BP的斜率之間的關(guān)系即可得到關(guān)系式，化簡(jiǎn)后即為動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅱ）對(duì)于存在性問(wèn)題可先假設(shè)存在，由面積公式得：

1

2

|PA|•|PB|sin∠APB=

1

2

|PM|• |PN|sin∠MPN．根據(jù)角相等消去三角函數(shù)得比例式，最后得到關(guān)于點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的方程，解之即得．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)辄c(diǎn)B與A（-1，1）關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，所以點(diǎn)B得坐標(biāo)為（1，-1）．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）

y-1

x+1

•

y+1

x-1

=-

1

3

化簡(jiǎn)得x²+3y²=4（x≠±1）．
故動(dòng)點(diǎn)P軌跡方程為x²+3y²=4（x≠±1）
（Ⅱ）解：若存在點(diǎn)P使得△PAB與△PMN的面積相等，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀）
則

1

2

|PA|•|PB|sin∠APB=

1

2

|PM|• |PN|sin∠MPN．
因?yàn)閟in∠APB=sin∠MPN，
所以

|PA|

|PM|

=

|PN|

|PB|

所以

|x0+1|

|3-x0|

=

|3-x0|

|x0-1|

即（3-x₀）²=|x₀²-1|，解得x0=

5

3

因?yàn)閤₀²+3y₀²=4，所以y0=±

33

9

故存在點(diǎn)P使得△PAB與△PMN的面積相等，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(

5

3

，±

33

9

)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了軌跡方程、三角形中的幾何計(jì)算等知識(shí)，屬于中檔題．