Question

已知函數(shù)f(x)=

x-1

x+2

（1）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，+∞）上的單調(diào)性，并利用單調(diào)性的定義證明；
（2）函數(shù)g（x）=log₂f（x），x∈[-5，-3]的值域?yàn)锳，且C_RB={x|x＞2a-1或x＜a}（a為常數(shù)），若A∩B=B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（1）f（x）在區(qū)間（-2，+∞）上為增函數(shù)．
f(x)=

x-1

x+2

=1-

3

x+2

，
任取x₁，x₂∈（-2，+∞），且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=(1-

3

x1+2

)-(1-

3

x2+2

)=

3

x2+2

-

3

x1+2

=

3(x1-x2)

(x1+2)•(x2+2)

，
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，又x₁，x₂∈（-2，+∞），∴x₁+2＞0，x₂+2＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在區(qū)間（-2，+∞）上為增函數(shù)．
（2）∵f（x）在區(qū)間（-2，+∞）上為增函數(shù)．
∴f（x）在區(qū)間[-5，-3]上為增函數(shù)．
∵g（x）=log₂f（x），∴g（x）在區(qū)間[-5，-3]上為增函數(shù)，
∴g（-5）≤g（x）≤g（-3），即1≤g（x）≤2，∴A=[1，2]，
∵C_RB={x|x＞2a-1或x＜a}，∴B={x|a≤x≤2a-1}，
①若B=?，則a＞2a-1，解得a＜1；
②若B≠?時，

2a-1≥a a≥1 2a-1≤2

?1≤a≤

3

2

，
綜上所述：a∈(-∞，

3

2

]．