Question

已知=是矩陣M=屬于特征值λ1=2的一個特征向量．

（Ⅰ）求矩陣M；

（Ⅱ）若，求M10a．

 

Answer 1

（Ⅰ）M=；（Ⅱ）M10=．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）依題意，M=，從而，由此能求出矩陣M．

（Ⅱ）（方法一）由（Ⅰ）知矩陣M的特征多項式為f（λ）=（λ﹣1）（λ﹣2），矩陣M的另一個特征值為λ2=1，設(shè)=是矩陣M屬于特征值λ2=1的特征向量，由已知得=，由此能求出M10．

（Ⅱ）（方法二）M2=MM=，，M5=M3M2，M10=M5M5，由此能求出M10．

【解析】
（Ⅰ）依題意，M=，

，

∴，

解得a=1，b=2．

∴矩陣M=．

（Ⅱ）（方法一）由（Ⅰ）知矩陣M的特征多項式為f（λ）=（λ﹣1）（λ﹣2），

∴矩陣M的另一個特征值為λ2=1，

設(shè)=是矩陣M屬于特征值λ2=1的特征向量，

則，

∴，取x=1，得=，

∴，

∴M10==．

（Ⅱ）（方法二）M2=MM=，

，

M5=M3M2==，

M10=M5M5==，

∴M10=．