Question

【題目】如圖是函數(shù)一個(gè)周期內(nèi)的圖象，將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象.

（1）求函數(shù)和的解析式；

（2）若，求的所有可能的值；

（3）求函數(shù)（為正常數(shù)）在區(qū)間內(nèi)的所有零點(diǎn)之和.

Answer 1

【答案】（1），；（2）或1；（3）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，171.

【解析】

（1）由三角函數(shù)圖象求得，，，再由三角函數(shù)圖象的平移可得；

（2）由，解得或,再求解即可；

（3）先解得，再討論與1的大小關(guān)系，再解三角方程，結(jié)合正弦函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性求各零點(diǎn)之和即可.

解：（1）由圖可知,,即，即，

則，又，又，所以，

故，

將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得函數(shù)解析式為，再把所得圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則，

即，；

（2）當(dāng)，即，解得即或,即或或（）

當(dāng)時(shí)，所以，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

故的所有可能的值為或1；

（3）令，即，即，

解得，又因?yàn)?/span>，又，所以 ，

當(dāng)時(shí)，由函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程可得在，()有兩個(gè)解，且兩解之和,

則在的根之和為，

當(dāng) ，即時(shí)，方程無(wú)解，

當(dāng) ，即時(shí)，方程的解為 ，(),則在的根之和為，

當(dāng) ，即時(shí)，方程在，()有兩個(gè)解，且兩解之和,

則在的根之和為，

綜上可得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的所有零點(diǎn)之和為.

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的所有零點(diǎn)之和為.

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的所有零點(diǎn)之和為.