【題目】如圖,在三棱錐P﹣ABC中,平面PAC⊥平面ABC,PA⊥AC,AB⊥BC.設D,E分別為PA,AC中點.
(Ⅰ)求證:DE∥平面PBC;
(Ⅱ)求證:BC⊥平面PAB;
(Ⅲ)試問在線段AB上是否存在點F,使得過三點 D,E,F(xiàn)的平面內(nèi)的任一條直線都與平面PBC平行?若存在,指出點F的位置并證明;若不存在,請說明理由.
【答案】解:(Ⅰ)證明:因為點E是AC中點,點D為PA的中點,所以DE∥PC.
又因為DE面PBC,PC面PBC,
所以DE∥平面PBC.
(Ⅱ)證明:因為平面PAC⊥面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,又PA平面PAC,PA⊥AC,
所以PA⊥面ABC,
因為BC平面ABC,
所以PA⊥BC.
又因為AB⊥BC,且PA∩AB=A,
所以BC⊥面PAB.
(Ⅲ)解:當點F是線段AB中點時,過點D,E,F(xiàn)的平面內(nèi)的任一條直線都與平面PBC平行.
取AB中點F,連EF,連DF.
由(Ⅰ)可知DE∥平面PBC.
因為點E是AC中點,點F為AB的中點,
所以EF∥BC.
又因為EF平面PBC,BC平面PBC,
所以EF∥平面PBC.
又因為DE∩EF=E,
所以平面DEF∥平面PBC,
所以平面DEF內(nèi)的任一條直線都與平面PBC平行.
故當點F是線段AB中點時,過點D,E,F(xiàn)所在平面內(nèi)的任一條直線都與平面PBC平行.
【解析】(Ⅰ)證明以DE∥平面PBC,只需證明DE∥PC;(Ⅱ)證明BC⊥平面PAB,根據(jù)線面垂直的判定定理,只需證明PA⊥BC,AB⊥BC;(Ⅲ)當點F是線段AB中點時,證明平面DEF∥平面PBC,可得平面DEF內(nèi)的任一條直線都與平面PBC平行.
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定和直線與平面平行的性質(zhì)的相關(guān)知識點,需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行;一條直線與一個平面平行,則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行;簡記為:線面平行則線線平行才能正確解答此題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知△ABC滿足| |=3,| |=4,O是△ABC所在平面內(nèi)一點,滿足| |=| |=| |,且 =λ + (λ∈R),則cos∠BAC= .
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【題目】學校藝術(shù)節(jié)對同一類的,,,四項參賽作品,只評一項一等獎,在評獎揭曉前,甲、乙、丙、丁四位同學對這四項參賽作品預測如下:
甲說:“是或作品獲得一等獎”;
乙說:“作品獲得一等獎”;
丙說:“,兩項作品未獲得一等獎”;
丁說:“是作品獲得一等獎”.
若這四位同學中只有兩位說的話是對的,則獲得一等獎的作品是__________.
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【題目】如圖,正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直.EF∥AC,AB= ,CE=EF=1. (Ⅰ)求證:AF∥平面BDE;
(Ⅱ)求證:CF⊥平面BDE.
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【題目】小明同學在寒假社會實踐活動中,對白天平均氣溫與某家奶茶店的品牌飲料銷量之間的關(guān)系進行了分析研究,他分別記錄了1月11日至1月15日的白天氣溫()與該奶茶店的品牌飲料銷量(杯),得到如表數(shù)據(jù):
日期 | 1月11號 | 1月12號 | 1月13號 | 1月14號 | 1月15號 |
平均氣溫() | 9 | 10 | 12 | 11 | 8 |
銷量(杯) | 23 | 25 | 30 | 26 | 21 |
(1)若先從這五組數(shù)據(jù)中抽出2組,求抽出的2組數(shù)據(jù)恰好是相鄰2天數(shù)據(jù)的概率;
(2)請根據(jù)所給五組數(shù)據(jù),求出關(guān)于的線性回歸方程式;
(3)根據(jù)(2)所得的線性回歸方程,若天氣預報1月16號的白天平均氣溫為,請預測該奶茶店這種飲料的銷量.
(參考公式:,)
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【題目】已知函數(shù) .
(1)證明f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
(2)是否存在實數(shù)a使得f(x)的定義域、值域都是 ,若存在求出a的值,若不存在說明理由.
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【題目】如圖,矩形ABCD所在的半平面和直角梯形CDEF所在的半平面成60°的二面角,DE∥CF,CD⊥DE,AD=2, ,CF=6,∠CFE=45°.
(Ⅰ)求證:BF∥平面ADE;
(Ⅱ)在線段CF上求一點G,使銳二面角B﹣EG﹣D的余弦值為 .
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【題目】已知函數(shù)的圖象與軸相切,且切點在軸的正半軸上.
(1)若函數(shù)在上的極小值不大于,求的取值范圍;
(2)設,證明: 在上的最小值為定值.
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【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD底面是正方形,PA⊥底面ABCD,E,F(xiàn)分別為PA,PD中點.
(1)求證:EF∥面PBC
(2)求證:平面PBC⊥平面PAB.
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