Question

9．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)M（$\frac{3π}{4}$，0）對(duì)稱，且在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上是單調(diào)函數(shù)，求φ和ω的值，并求方程f（x）-lgx=0的實(shí)根個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 由函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）是偶函數(shù)可求得φ=$\frac{π}{2}$；再由其圖象關(guān)于點(diǎn)M（$\frac{3π}{4}$，0）對(duì)稱，且在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上是單調(diào)函數(shù)可求得ω=$\frac{2}{3}$或ω=2；再化方程f（x）-lgx=0的實(shí)根個(gè)數(shù)為函數(shù)f（x）與y=lgx的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；從而作圖求交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）是偶函數(shù)，
∴|sinφ|=1，又∵0≤φ≤π；
∴φ=$\frac{π}{2}$；
∵圖象關(guān)于點(diǎn)M（$\frac{3π}{4}$，0）對(duì)稱，
∴sin（ω$\frac{3π}{4}$+$\frac{π}{2}$）=0，
∴ω$\frac{3π}{4}$+$\frac{π}{2}$=kπ；
∴3ω=4k-2；
又∵在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上是單調(diào)函數(shù)，
∴T=$\frac{2π}{ω}$≥$\frac{π}{2}$•2；
即ω≤2；
故ω=$\frac{2}{3}$或ω=2；
方程f（x）-lgx=0的實(shí)根個(gè)數(shù)即函數(shù)f（x）與y=lgx的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，
當(dāng)ω=$\frac{2}{3}$時(shí)，作函數(shù)f（x）與y=lgx的圖象如下，

有三個(gè)交點(diǎn)，故方程f（x）-lgx=0的實(shí)根個(gè)數(shù)為3；
當(dāng)ω=2時(shí)，作函數(shù)f（x）與y=lgx的圖象如下，

有7個(gè)交點(diǎn)，故方程f（x）-lgx=0的實(shí)根個(gè)數(shù)為7．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的綜合應(yīng)用及方程的根與函數(shù)圖象的交點(diǎn)的應(yīng)用，屬于中檔題．