Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2cos²x+sin2x+a（a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當x∈[0，]時，f（x）的最大值為2，求a的值．

Answer 1

解：（1）f（x）=2cos²x+sin2x+a=1+cos2x+sin2x+a=sin（2x+）+a+1，
則函數(shù)f（x）的最小正周期 T==π．  
由 2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，解得 kπ-≤x≤kπ+，k∈z，
即[kπ-，kπ+]，，k∈z，為 f（x） 的單調(diào)遞增區(qū)間．    
（2）當x∈[0，]時，≤2x+≤，當  2x+= 時，sin（2x+）=1，
所以，f_max（x）=+1+a=2，∴a=1-．            
分析：（1）把函數(shù)的解析式化為sin（2x+）+a+1，最小正周期 T=，由2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，解得x的范圍，即為所求．
（2）根據(jù)≤2x+≤，可得當  2x+= 時，sin（2x+）=1，由 f_max（x）=+1+a=2，
求出a的值．
點評：本題考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，正弦函數(shù)的定義域和值域和周期性，把函數(shù)的解析式化為
sin（2x+）+a+1，是解題的突破口．