Question

12．已知圓O經(jīng)過點A（6，1），B（1，6），C（4，5）．
（Ⅰ）用待定系數(shù)法求圓C方程；
（Ⅱ）若直線l過點D（-3，3）且被圓O所截得的線段的長為6，求直線l的方程；
（Ⅲ）若直線l將圓O平分且不經(jīng)過第四象限，求直線l斜率的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）解：設(shè)圓O的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，把已知點的坐標(biāo)代入可求D，E，F(xiàn)，即可求解圓C的方程；
（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率不存在時，l：x=-3，可求弦長，當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)l的方程為y-3=k（x+3），由點到直線的距離可求圓心到l的距離$d=\frac{{|{4k+2}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，結(jié)合弦長l，弦心距d及半徑r之間的關(guān)系可求k，進(jìn)而可求直線；
（Ⅲ）由題意知，符合題意的直線的兩個邊界為過圓心且平行于x軸的直線l₁和過圓心和原點的直線l₂，其中k₁=0，k₂=k_OC=1，可求．

解答 解：（Ⅰ）20解：設(shè)圓O的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0
由題意知，有$\left\{\begin{array}{l}36+1+6D+E+F=0\\ 1+36+D+6E+F=0\\ 16+25+4D+5E+F=0\end{array}\right.$（2分）
解得D=-2，E=-2，F(xiàn)=-23（4分）
∴圓O的方程為x²+y²-2x-2y-23=0即（x-1）²+（y-1）²=25．（5分）
（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率不存在時，l：x=-3，
此時所截得的線段的長為$2\sqrt{{5^2}-{4^2}}=6$，
∴l(xiāng)：x=-3符合題意．（7分）
當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)l的方程為y-3=k（x+3），即kx-y+3k+3=0，
圓心到l的距離$d=\frac{{|{4k+2}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，
由題意，得${（\frac{{|{4k+2}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}）^2}+{3^2}={5^2}$，解得$k=\frac{3}{4}$．（9分）
∴直線l的方程為$\frac{3}{4}x-y+\frac{21}{4}=0$，即3x-4y+21=0．
綜上，直線l的方程為x=-3或3x-4y+21=0．（11分）
（Ⅲ）由題意知，符合題意的直線的兩個邊界為過圓心且平行于x軸的直線l₁和過圓心和原點的直線l₂，其中k₁=0，k₂=k_OC=1，（12分）
當(dāng)動直線在l₁l₂之間轉(zhuǎn)動時符合題意，所以直線l斜率的取值范圍直線0≤k≤1（14分）

點評 本題 主要考查了圓的方程的求解，直線與圓的 位置關(guān)系的應(yīng)用及圓的性質(zhì)的應(yīng)用，試題具有一定的綜合性．