Question

8．某游泳館出售冬季學(xué)生游泳卡，每張240元，使用規(guī)定，不記名，每卡每次只限1人，每天只限1次，某班有48名學(xué)生，老師打算組織同學(xué)們集體去游泳，除需購買若干張游泳卡外，每次還要包一輛汽車，無論乘坐多少名同學(xué)，每次的車費(fèi)均為40元，若使每個同學(xué)游8次，則購買幾張游泳卡最合算？每人最少交多少錢？

Answer 1

分析 設(shè)買x張游泳卡，總開支為y元，可得y關(guān)于x的函數(shù)：y=240x+$\frac{384}{x}$×40（0＜x≤48，x∈Z）．再由基本不等式算出y=240（x+$\frac{64}{x}$）≥3840，得當(dāng)x=8時(shí)，總開支y的最大值為3840元，由此即可得到每個同學(xué)游8次的最少交費(fèi)．

解答 解：設(shè)買x張游泳卡，總開支為y元，則每批去x名同學(xué)，共需去$\frac{384}{x}$批，
總開支又分為：①買卡所需費(fèi)用240x；②包車所需費(fèi)用$\frac{384}{x}$×40．
∴y=240x+$\frac{384}{x}$×40（0＜x≤48，x∈Z）．
因此，y=240（x+$\frac{64}{x}$）≥240×2$\sqrt{x•\frac{64}{x}}$=3840
當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{64}{x}$時(shí)，即x=8時(shí)取等號．
∴當(dāng)x=8時(shí)，總開支y的最小值為3840元，此時(shí)每人最少應(yīng)交$\frac{3840}{48}$=80（元）．
答：若使每個同學(xué)游8次，買8張游泳卡最合算，每人最少應(yīng)交80元錢．

點(diǎn)評 本題以一個實(shí)際應(yīng)用問題為例，求同學(xué)們游泳的最小開支．著重考查了函數(shù)模型及其應(yīng)用、運(yùn)用基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．