Question

（2012•廈門模擬）如圖，在一段筆直的國道同側(cè)有相距120米的A，C兩處，點A，C到國道的距離分別是119米、47米，擬規(guī)劃建設一個以AC為對角線的平行四邊形ABCD的臨時倉庫，且四周圍墻總長為400米，根據(jù)公路法以及省公路管理條例規(guī)定：建筑物離公路距離不得少于20米．若將臨時倉庫面積建到最大，該規(guī)劃是否符合規(guī)定？

Answer 1

分析：由題意，|AB|+|CB|=|DA|+|DC|=200＞160，所以平行四邊形基地的另兩個頂點B，D在以A，C為焦點的橢圓上，建立坐標系求出橢圓的方程，求出公路所在直線l的方程，當C，D分別為橢圓短軸的兩個端點時，臨時倉庫占地面積最大，求出點D到直線l的距離，即可得到結(jié)論．

解答：解：由題意，|AB|+|CB|=|DA|+|DC|=200＞160，所以平行四邊形基地的另兩個頂點B，D在以A，C為焦點的橢圓上
以AC所在直線為x軸，AC中點為原點建立直角坐標系，可得橢圓方程為

x2

1002

+

y2

802

=1(y≠0)
設公路所在直線l與x軸相交于點E，且CE=x米，則

47

119

=

x

120+x

，∴x=

235

3

，即點E（

415

3

，0）
∴直線l的方程為：3x-4y-415=0
當C，D分別為橢圓短軸的兩個端點時，臨時倉庫占地面積最大，此時D（0，-80），
點D到直線l的距離為d=

|320-415|

5

=19＜20
∴該規(guī)劃不符合規(guī)定．

點評：本題考查橢圓的應用，考查橢圓的定義與標準方程，考查點到直線距離公式，屬于中檔題．