設(shè)數(shù)列滿足：，，．

（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；

（Ⅱ）已知是等差數(shù)列，為前項(xiàng)和，且，.求的通項(xiàng)公式，并證明：．

 

【答案】

（Ⅰ），；（Ⅱ），證明詳見解析．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和，由已知，，，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式可得；（Ⅱ）求的通項(xiàng)公式，由是等差數(shù)列，為前項(xiàng)和，且，，可設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)已知條件，求出公差的值，從而得到；證明：，由，分母是等差數(shù)列連續(xù)兩項(xiàng)積，像這類數(shù)列，求其前項(xiàng)和，常常采用拆項(xiàng)相消法，即，從而解出．

試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2013121809265343637273/SYS201312180927530145777282_DA.files/image008.png">，又，所以，因此是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，所以，；

（Ⅱ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題意， ，所以，即，故. 由此得，. 所以，  .因此所證不等式成立.                        

考點(diǎn)：等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，拆項(xiàng)相消法求數(shù)列的前項(xiàng)和，考查學(xué)生的運(yùn)算能力以及轉(zhuǎn)化與化歸的能力.

 

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列滿足a1=2，an+1-an=3•22n-1
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）令bn=nan，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列滿足a1=0，an+1=an+
an+
1
4
+
1
4
，令bn=
an+
1
4
．
（Ⅰ）證明數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若存在m，n∈N*，n≤10使得b6，am，an依次成等比數(shù)列，試確定m，n的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列滿足：a1=1，an+1=
1
16
(1+4an+
1+24an
)(n∈N*)．
（1）求a2，a3；
（2）令bn=
1+24an
，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2015屆廣西桂林十八中高二上學(xué)期段考文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知等差數(shù)列，公差不為零，，且成等比數(shù)列;

⑴求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

⑵設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2015屆江蘇省高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù),為正整數(shù).

(Ⅰ)求和的值;

(Ⅱ)數(shù)列的通項(xiàng)公式為(),求數(shù)列的前項(xiàng)和;

(Ⅲ)設(shè)數(shù)列滿足:,,設(shè),若(Ⅱ)中的滿足：對(duì)任意不小于3的正整數(shù)n,恒成立,試求m的最大值.

 

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