Question

已知拋物線D的頂點(diǎn)是橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的中心，焦點(diǎn)與該橢圓的右焦點(diǎn)重合
（1）求拋物線D的方程；
（2）已知?jiǎng)又本�l過(guò)點(diǎn)P（4，0），交拋物D于A，B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O為PQPQ中點(diǎn)，求證∠AQP=∠BQP．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意，設(shè)拋物線方程為y²=2px（p＞0）．由a²-b²=4-3=1，得c=1．由此能求出拋物線D的方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由于O為PQ之中點(diǎn)，故當(dāng)l⊥x軸時(shí)由拋物線的對(duì)稱性知∠AQP=∠BQP，當(dāng)l不垂直x軸時(shí)，設(shè)l：y=k（x-4），代入拋物線方程，得k²x²-4（2k²+1）x+16k²=0，由此能夠證明∠AQP=∠BQP．

解答： （1）解：由題意，可設(shè)拋物線方程為y²=2px（p＞0）．
由a²-b²=4-3=1，得c=1．
∴拋物線的焦點(diǎn)為（1，0），∴p=2．
∴拋物線D的方程為y²=4x．…
（2）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由于O為PQ之中點(diǎn)，故當(dāng)l⊥x軸時(shí)，由拋物線的對(duì)稱性知，一定有∠AQP=∠BQP，
當(dāng)l不垂直x軸時(shí)，設(shè)l：y=k（x-4），
代入拋物線方程，得k²x²-4（2k²+1）x+16k²=0，
∴x₁+x₂=

4(2k2+1)

k2

，x₁x₂=16，
∵k_AQ=

y1

x1+4

，k_BQ=

y2

x2+4

，
∴k_AQ+k_BQ=

k(2x1x2-32)

(x1+4)(x2+4)

=0，
∴∠AQP=∠BQP．
綜上證知，∠AQP=∠BQP．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線方程的求法，直線和拋物線的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．