Question

經(jīng)過雙曲線x2-

y2

3

=1的左焦點(diǎn)F₁作傾斜角為

π

6

的弦AB．
（1）求|AB|；
（2）求△F₂AB的周長（F₂為右焦點(diǎn)）．

Answer 1

分析：（1）求出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線的斜率，利用點(diǎn)斜式求出直線方程；將直線的方程代入雙曲線的方程，利用兩點(diǎn)的距離公式求出|AB|．
（2）利用焦半徑公式求出|F₂A|，|F₂B|，利用韋達(dá)定理求出|F₂A|，|F₂B|的和，求出三角形的周長．

解答：解：（1）雙曲線的左焦點(diǎn)為F₁（-2，0），直線AB的斜率k=tan

π

6

=

3

3

，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則直線AB：y=

3

3

（x+2），
代入3x²-y²-3=0整理得8x²-4x-13=0
∴x₁+x₂=

1

2

，x₁x₂=-

13

8

，
∴|x₁-x₂|=

3 3

2

，
∴|AB|=

1+ 1 3

|x₁-x₂|=3；
（2）|F₂A|=2x₁-1，|F₂B|=1-2x₂
∴|F₂A|+|F₂B|=2（x₁-x₂）=3

3

，
∴△F₂AB的周長為3+3

3

．

點(diǎn)評：本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查弦長公式的運(yùn)用，考查三角形的周長，屬于中檔題．