(A題) (奧賽班做)有三個信號監(jiān)測中心A、B、C,A位于B的正東方向,相距6千米,C在B的北偏西30°,相距4千米.在A測得一信號,4秒后,B、C才同時測得同一信號,試建立適當?shù)淖鴺讼担_定信號源P的位置(即求出P點的坐標).(設(shè)該信號的傳播速度為1千米/秒,圖見答卷)

解:取A、B所在直線為x軸,線段AB的中點O為原點,
建立直角坐標系.則A、B、C的坐標為
A( 3,0 )、B (-3,0 )、C (-5,2),(長度單位為千米).
由已知|PB|-|PA|=4,所以點P在以A、B為焦點,
實軸長為4的雙曲線的右支上,
其方程為(x≥2)①
又B、C同時測得同一信號,即有|PB|=|PC|
∴點P又在線段BC的中垂線上,
其方程為,

由①、②解得:
,
∴得點P的坐標為 ( 8,5).
分析:由于B、C同時發(fā)現(xiàn)信號,則P在線段BC的中垂線上,又由A、B兩艦發(fā)現(xiàn)信號的時間差為4秒,知|PB|-|PA|=4,從而P在雙曲線的右支上,所以可確定P的坐標,從而問題得解.
點評:本題主要考查從實際問題中構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,考查雙曲線的定義、軌跡方程的求解,考查學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(A題) (奧賽班做)已知F1、F2為雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的焦點,過F2作垂直于x軸的直線,它與雙曲線的一個交點為P,且∠PF1F2=30°,則雙曲線的漸近線方程為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(A題) (奧賽班做)已知橢圓E的離心率為e,左右焦點分別為F1、F2,拋物線C以F1頂點,F(xiàn)2為焦點,P為兩曲線的一個交點,
|PF1|
|PF2|
=e
,則e的值為
3
3
3
3

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(A題) (奧賽班做)有三個信號監(jiān)測中心A、B、C,A位于B的正東方向,相距6千米,C在B的北偏西30°,相距4千米.在A測得一信號,4秒后,B、C才同時測得同一信號,試建立適當?shù)淖鴺讼,確定信號源P的位置(即求出P點的坐標).(設(shè)該信號的傳播速度為1千米/秒,圖見答卷)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

(A題) (奧賽班做)已知F1、F2為雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的焦點,過F2作垂直于x軸的直線,它與雙曲線的一個交點為P,且∠PF1F2=30°,則雙曲線的漸近線方程為( 。
A.y=±
2
2
x
B.y=±
3
x
C.y=±
3
3
x
D.y=±
2
x

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