Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

ax2-(2a+1)x+2lnx  (a∈R)．
（1）若a=1時，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）將a=1代入f（x），求出導(dǎo)函數(shù)f′（x），求出f′（x）=0的根，判斷根左右的單調(diào)性，即可求得函數(shù)f（x）的極值；
（2）求出f′（x），通過對a分類討論，當(dāng)f′（x）＞0，可求得f（x）的單調(diào)增區(qū)間，當(dāng)f′（x）＜0，可求得f（x）的單調(diào)減區(qū)間，即可求得f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞），
當(dāng)a=1時，f（x）=

1

2

x²-3x+2lnx，
∴f′（x）=x-3+

2

x

=

x2-3x+2

x

，
令f′（x）=0可得，x=1或x=2，
當(dāng)x∈（0，1）時，f′（x）＞0，則f（x）在（0，1）單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（1，2）時，f′（x）＜0，則f（x）在（1，2）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（2，+∞）時，f′（x）＞0，則f（x）在（2，+∞）單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=1時，f（x）取極大值f（1）=-

5

2

，
當(dāng)x=2時，f（x）取極小值f（2）=2ln2-4；
（2）f′（x）=ax-（2a+1）+

2

x

=

ax2-(2a+1)x+2

x

=

(ax-1)(x-2)

x

（x＞0），
①當(dāng)a≤0時，令f′（x）＞0，可得0＜x＜2，令f′（x）＜0，可得x＞2，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，2），單調(diào)減區(qū)間為（2，+∞）；
②當(dāng)a＞0時，
若

1

a

＜2，即a＞

1

2

時，令f′（x）＞0，可得0＜x＜

1

a

或x＞2，令f′（x）＜0，可得

1

a

＜x＜2，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，

1

a

）和（2，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（

1

a

，2）；
若

1

a

=2，即a=

1

2

時，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）；
若

1

a

＞2，即0＜a＜

1

2

時，令f′（x）＞0，可得0＜x＜2或x＞

1

a

，令f′（x）＜0，可得2＜x＜

1

a

，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，2）和（

1

a

，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（2，

1

a

）；
綜合①②，當(dāng)a≤0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，2），單調(diào)減區(qū)間為（2，+∞），
當(dāng)0＜a＜

1

2

時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，2）和（

1

a

，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（2，

1

a

），
當(dāng)a=

1

2

時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞），
當(dāng)a＞

1

2

時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，

1

a

）和（2，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（

1

a

，2）．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，要注意導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)對應(yīng)著函數(shù)的增減，再表示函數(shù)單調(diào)區(qū)間的時候不能用“∪”連接．本題運用了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，關(guān)鍵是弄清分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么．屬于中檔題．