Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（ax²-2x+4-2a）（a＞0且a≠1）．
（1）當a=2時，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若函數(shù)f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當a=2時，f（x）=log₂（2x²-2x），設u=2x2-2x=2(x-

1

2

)2-

1

2

，由

u≥- 1 2 u＞0

，能求出當a=2時，函數(shù)f（x）的值域．
（2）設u（x）=ax²-2x+4-2a，由函數(shù)f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，知當a＞1時，u（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)且u（x）＞0，由此能求出a的取值范圍．

解答：解：（1）當a=2時，
f（x）=log₂（2x²-2x），
設u=2x2-2x=2(x-

1

2

)2-

1

2

，
則

u≥- 1 2 u＞0

，
解得u＞0，
所以y=log₂u∈R，函數(shù)f（x）的值域為R．
（2）設u（x）=ax²-2x+4-2a，
使函數(shù)f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，
則a＞1時u（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)且u（x）＞0，
得

a＞1 1 a ≤1 u(1)=2-a≥0

，
解得1＜a≤2．
所以a的取值范圍為（1，2]．

點評：本題考查對數(shù)函數(shù)的值域和最值，解題時要認真審題，注意對數(shù)函數(shù)的定義域、值域和單調性的靈活運用．