Question

9．設(shè)二次函數(shù)f（x）滿足f（2+x）=f（2-x），對(duì)于x∈R恒成立，且f（x）=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和為10，f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（0，3）．求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 由題意可得：設(shè)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），方程ax²+bx+c=0的兩根為x₁，x₂，所以結(jié)合題意可得a=1，b=-4，c=3，進(jìn)而得到函數(shù)的解析式．

解答 解：（1）由題意可得：設(shè)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
二次函數(shù)f（x）滿足f（2+x）=f（2-x），
則其對(duì)稱軸為2，即-$\frac{2a}$=2，
方程ax²+bx+c=0的兩根為x₁，x₂，
所以：${{x}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}$=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（-$\frac{a}$）²-2×$\frac{c}{a}$，
根據(jù)題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2a}=2}\\{c=3}\\{{（\frac{a}）}^{2}-\frac{2c}{a}=10}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
所以函數(shù)的解析式為f（x）=x²-4x+3．

點(diǎn)評(píng) 解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握求函數(shù)解析式的方法，以及二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)．