Question

【題目】對(duì)于函數(shù)，若定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)，滿足，則稱為“局部奇函數(shù)”.

（1）已知二次函數(shù)，試判斷是否為“局部奇函數(shù)”？并說明理由.

（2）設(shè)是定義在上的“局部奇函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)，若不是定義域R上的“局部奇函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）為局部奇函數(shù)，詳見解析（2）（3）或

【解析】

（1）由已知中“局部奇函數(shù)”的定義，結(jié)合函數(shù)f（x）＝ax2+2bx﹣3a，可得結(jié)論；

（2）由題可知有解，，變量分離求值域即可；

（3）先考慮函數(shù)是定義域R上的“局部奇函數(shù)”，然后求補(bǔ)集即可.

（1），則得到有解，所以為局部奇函數(shù)．

（2）由題可知有解，，

設(shè)，所以，

所以．

（3）若為局部奇函數(shù)，則有解，

得，

設(shè)p＝2x+2﹣x∈[2，+∞），

所以方程等價(jià)于p2﹣2mp+2m2﹣8＝0在p≥2時(shí)有解．

設(shè)h（p）＝p2﹣2mp+2m2﹣8，對(duì)稱軸p＝m，

①若m≥2，則△＝4m2﹣4（2m2﹣8）≥0，即m2≤8，

∴，

此時(shí)；

②若m＜2時(shí)，

則，即，

此時(shí)，

綜上得：．

故若不為局部奇函數(shù)時(shí)或．