一般地，如果函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（a，b）對稱，那么對定義域內(nèi)的任意x，則f（x）+f（2a-x）=2b恒成立．已知函數(shù)的定義域為R，其圖象關(guān)于點對稱．
（1）求常數(shù)m的值；
（2）解方程：；
（3）求證：（n∈N+）．
【答案】分析：（1）利用函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，可得f（x）+f（1-x）=1，代入化簡，可得結(jié)論；
（2）由（1）知，，代入化簡方程，可求方程的解；
（3）利用f（x）+f（1-x）=1，倒序相加，可得結(jié)論．
解答：（1）解：∵函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，∴f（x）+f（1-x）=1
∴+=1
∴+=1，∴m=2；
（2）解：由（1）知，
∵
∴
∴[]2--2=0
∴=2或
∴x=；
（3）證明：設(shè)可寫成 
兩式相加，∵f（x）+f（1-x）=1
∴，所以．
點評：本題考查函數(shù)的對稱性，考查對數(shù)方程，考查等式的證明，正確運用函數(shù)的對稱性是關(guān)鍵．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

一般地，如果函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（a，b）對稱，那么對定義域內(nèi)的任意x，則f（x）+f（2a-x）=2b恒成立．已知函數(shù)f(x)=
4x
4x+m
的定義域為R，其圖象關(guān)于點M(
1
2
，
1
2
)對稱．
（1）求常數(shù)m的值；
（2）解方程：log2[1-f(x)]log2[4-xf(x)]=2；
（3）求證：f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-2
n
)+f(
n-1
n
)+f(
n
n
)=
3n+1
6
（n∈N+）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

一般地，如果函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（a，b）對稱，那么對定義域內(nèi)的任意x，則f（x）+f（2a-x）=2b恒成立．已知函數(shù)數(shù)學(xué)公式的定義域為R，其圖象關(guān)于點數(shù)學(xué)公式對稱．
（1）求常數(shù)m的值；
（2）解方程：數(shù)學(xué)公式；
（3）求證：數(shù)學(xué)公式（n∈N+）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年湖南師大附中高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

一般地，如果函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（a，b）對稱，那么對定義域內(nèi)的任意x，則f（x）+f（2a-x）=2b恒成立．已知函數(shù)的定義域為R，其圖象關(guān)于點對稱．
（1）求常數(shù)m的值；
（2）解方程：；
（3）求證：（n∈N+）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年湖南省衡陽八中高一（上）五科聯(lián)賽數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

一般地，如果函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（a，b）對稱，那么對定義域內(nèi)的任意x，則f（x）+f（2a-x）=2b恒成立．已知函數(shù)的定義域為R，其圖象關(guān)于點對稱．
（1）求常數(shù)m的值；
（2）解方程：；
（3）求證：（n∈N+）．

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