Question

某人在一山坡P處觀看對面山頂上的一座鐵塔，如圖所示，塔高BC=40（米），塔所在的山高OB=290（米），OA=210（米），圖中所示的山坡可視為直線l且點P在直線l上，l與水平地面的夾角為α，tanα=

1

3

．試問此人距水平地面多高時，觀看塔的視角∠BPC最大（不計此人的身高）．

Answer 1

分析：先建立直角坐標系，則依題意可知A，B，C的坐標，進而可得直線l的方程．設點P的坐標為（x，y）進而可求直線PC和PB的斜率，直線PC到直線PB的角的公式可得到tanBPC關于x的表達式tan∠BPC=

y-290 x - y-330 x

1+ (y-290)(y-330) x2

，再由均值不等式求tanBPC最大．進而得出此時點P的縱坐標，即可得到答案．

解答：解：如圖建立直角坐標系，則A（210，0），B（0，290），C（0，330）
直線l的方程為y=

1

3

(x-210)即y=

1

3

x-70
設P（x，y）為直線l上一點．（y＞0）
則kPC=

y-330

x

kPB=

y-290

x

∴tan∠BPC=

kPB-kPC

1+kPB•kPC

=

y-290 x - y-330 x

1+ (y-290)(y-330) x2

…（4分）=

40x

x2+(y-290)(y-330)

=

40x

x2+( 1 3 x-360)( 1 3 x-400)

=

360x

10x2-3•760x+9•360•400

=

360

10x+ 9•360•400 x -3•760

…（8分）≤

360

2 10•9•360•400 -3•760

=

3

41

當且僅當10x=

9•360•400

x

即x=360時取等號…（10分）
此時y=

1

3

x-70=50∴當此人距水平地面50米時，觀看塔的視角最大…（13分）

點評：本題主要考查解三角形的實際運用．有些問題需要建立直角坐標系，利用解析幾何的方法來解決．