Question

已知{a_n}為遞減的等比數(shù)列，且{a₁，a₂，a₃}?{-4，-3，-2，0，1，2，3，4}．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）當(dāng)bn=

1-(-1)n

2

an時(shí)，求證：b₁+b₂+b₃+…+b2n-1＜

16

3

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由數(shù)列是遞減的等比數(shù)列得q是正數(shù)，再?gòu)募�合求出前三�?xiàng)，求出q代入通項(xiàng)公式即可；
（2）由（1）求出b_n，并對(duì)n分類(lèi)討論：n=2k和n=2k-1化簡(jiǎn)b_n，代入不等式的左邊由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)，再進(jìn)行證明．

解答：解：（Ⅰ）∵{a_n}是遞減數(shù)列，∴數(shù)列{a_n}的公比q是正數(shù)，
∵{a₁，a₂，a₃}?{-4，-3，-2，0，1，2，3，4}，
∴a₁=4，a₂=2，a₃=1，∴q=

a2

a1

=

1

4

=

1

2

，
∴an=a1qn-1=

8

2n

．
（Ⅱ）由（1）得，bn=

1-(-1)n

2

an=

8[1-(-1)n]

2n+1

，
當(dāng)n=2k（k∈N^*）時(shí)，b_n=0，
當(dāng)n=2k-1（k∈N^*）時(shí)，b_n=a_n，
即bn=

0，(n=2k，k∈N*) an，(n=2k-1，k∈N*).

∴b₁+b₂+b₃+…+b_2n-2+b_2n-1=a₁+a₃+…+a_2n-1
=

4[1-( 1 4 )n]

1- 1 4

=

16

3

[1-(

1

4

)n]＜

16

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列是遞減數(shù)列的特點(diǎn)，通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式應(yīng)用，考查了分類(lèi)討論思想．