Question

（2012•上海模擬）設(shè)C₁是以F為焦點的拋物線y²=2px（p＞0），C₂是以直線2x-

3

y=0與2x+

3

y=0為漸近線，以(0，  

7

)為一個焦點的雙曲線．
（1）求雙曲線C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若C₁與C₂在第一象限內(nèi)有兩個公共點A和B，求p的取值范圍，并求

FA

•

FB

的最大值；
（3）是否存在正數(shù)p，使得此時△FAB的重心G恰好在雙曲線C₂的漸近線上？如果存在，求出p的值；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)雙曲線C₂的方程，利用C₂是以直線2x-

3

y=0與2x+

3

y=0為漸近線，焦點是(0，

7

)，即可求得雙曲線方程；
（2）拋物線方程與雙曲線方程聯(lián)立，可得一元二次方程，利用C₁與C₂在第一象限內(nèi)有兩個公共點A和B，可得p的取值范圍；設(shè)A、B的坐標(biāo)，用坐標(biāo)表示

FA

•

FB

，利用韋達(dá)定理及配方法，可得

FA

•

FB

的最大值；
（3）由（2）知△FAB的重心G（

2p

3

，

n+f

3

），即G（

2p

3

，

3p2+4 3 p

3

），假設(shè)G恰好在雙曲線C₂的漸近線上，利用漸近線方程，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）因為一個焦點是(0，

7

)，故焦點在y軸上，于是可設(shè)雙曲線C₂的方程為

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）
∵C₂是以直線2x-

3

y=0與2x+

3

y=0為漸近線，
∴

a

b

=

2

3

∵a²+b²=7
∴a=2，b=

3

∴雙曲線方程為

y2

4

-

x2

3

=1；
（2）拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F（

p

2

，0），與雙曲線方程聯(lián)立消y得：4x²-6px+12=0
∵C₁與C₂在第一象限內(nèi)有兩個公共點A和B，∴△＞0，∴p＞

4 3

3

設(shè)A（m，n）、B（e，f），則

FA

•

FB

=（m-

p

2

，n）•（e-

p

2

，f）=me-（m+e）×

p

2

+

p2

4

+nf=me-（m+e）×

p

2

+

p2

4

+2p

me

由方程知me=3，m+e=

3p

2

代入得

FA

•

FB

=-

p2

2

+2

3

p+3=-

1

2

（p-2

3

）²+9，函數(shù)的對稱軸為p=2

3

∵p＞

4 3

3

，∴p=2

3

時，

FA

•

FB

的最大值為9；
（3）由（2）知△FAB的重心G（

2p

3

，

n+f

3

）
∵n+f=

2pm

+

2pe

=

3p2+4 3 p

∴G（

2p

3

，

3p2+4 3 p

3

）
假設(shè)G恰好在雙曲線C₂的漸近線上，則2×

2p

3

-

3

×

3p2+4 3 p

3

=0，∴7p2=12

3

p
∴p=0或p=

12 3

7

∵p＞

4 3

3

，∴p=

12 3

7

∴存在正數(shù)p=

12 3

7

，使得此時△FAB的重心G恰好在雙曲線C₂的漸近線上．

點評：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量知識的運用，考查函數(shù)的最值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．