Question

 （09山東理22）(14分)

設(shè)橢圓E: （a,b>0）過M（2，） ，N(,1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

   （Ⅰ）求橢圓E的方程；

   （Ⅱ）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,

         且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說明理

         由。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解:（1）因?yàn)闄E圓E: （a,b>0）過M（2，），N(,1)兩點(diǎn),

所以解得所以橢圓E的方程為        4分

（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且,設(shè)該圓的切線方程為解方程組得,即,

則△=,即

 

要使,需使,即,所以

,

    所以又,

    所以,所以,即或,

    因?yàn)橹本�為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,

    所以圓的半徑為,,,

所求的圓為,此時(shí)圓的切線都滿足或,

而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為或滿足,

綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且．

因?yàn)?sub>,

所以,

,               8分

①當(dāng)時(shí)

因?yàn)?sub>所以,

所以,

所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”．

    ②時(shí),．

    ③當(dāng)AB的斜率不存在時(shí), 兩個(gè)交點(diǎn)為或,

所以此時(shí),             12分

綜上, |AB |的取值范圍為即:           14分