Question

如圖，四面體P-ABC中，PA=PB=PC=2，∠APB=∠BPC=∠APC=30°．一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿四面體的表面繞一周，再回到A點(diǎn)，問(wèn)螞蟻經(jīng)過(guò)的最短路程是________．

Answer 1

2
分析：將四面體P-ABC的側(cè)面沿PA剪下再展開(kāi)，得五邊形PABCA'如圖，可得∠A'PA=90°，且A、A'的距離等于2，再將此展開(kāi)圖圍成四面體P-ABC的側(cè)面，得到折線AD-DE-EA，得線段AD、DE、EA的和即為螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)回到A點(diǎn)的最短路程．
解答：將四面體P-ABC的側(cè)面沿PA剪下再展開(kāi)，得到如圖所示五邊形（左圖）

∵四面體P-ABC中，PA=PB=PC=2，∠APB=∠BPC=∠APC=30°
∴展開(kāi)圖中∠A'PA=3×30°=90°
連接AA'，得Rt△AA'P中，AA'==2
再將此展開(kāi)圖圍成四面體P-ABC的側(cè)面，得到折線AD-DE-EA
∵AA'=AD+DE+EA，
∴螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿AD-DE-EA的路線行走，可得回到A點(diǎn)的最短路程
因此，螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，回到A點(diǎn)的最短路程為2
故答案為：2
點(diǎn)評(píng)：本題給出四面體，求螞蟻從側(cè)面走一周回到出發(fā)點(diǎn)所走的最短路程，著重考查了解三角形和用側(cè)面展開(kāi)法求多面體表面上的最短距離問(wèn)題的知識(shí)，屬于中檔題．