Question

已知數(shù)列{a_n}的各項都是正數(shù)，且滿足：a0=1，an+1=

1

2

an•(4-an)，n∈N．
（1）求a₁，a₂；
（2）證明a_n＜a_n+1＜2，n∈N．

Answer 1

分析：本題主要考查應用數(shù)學歸納法證明不等式的方法和一般步驟．要做好命題n=k到n=k+1的轉(zhuǎn)化，要注意轉(zhuǎn)化的要求是在變化過程中結(jié)構(gòu)不變．

解答：解：（1）a0=1，a1=

1

2

a0(4-a0)=

3

2

，a2=

1

2

a1(4-a1)=

15

8

．
（2）用數(shù)學歸納法證明：
1°當n=0時，a0=1，a1=

3

2

，∴a₀＜a₁＜2，命題正確．
2°假設n=k時，有a_k-1＜a_k＜2．
則n=k+1時，ak-ak+1=

1

2

ak-1(4-ak-1)-

1

2

ak(4-ak)=2(ak-1-ak)-

1

2

(ak-1-ak)(ak-1+ak)=

1

2

(ak-1-ak)(4-ak-1-ak)．
而a_k-1-a_k＜0，4-a_k-1-a_k＞0，∴a_k-a_k-1＜0．
又ak+1=

1

2

ak(4-ak)=

1

2

[4-(ak-2)2]＜2，∴n=k+1時命題正確．
由1°、2°知，對一切n∈N，有a_n＜a_n+1＜2．

點評：用數(shù)學歸納法證第二步時采用的是作差比較法，針對證明的目標，即要證明“左邊-右邊＜0”即可，但一定要注意拆項添項配湊出假設條件，才是完整的數(shù)學歸納法證明．