Question

已知函數(shù)f（x）=2sin（2x+

π

6

）+n在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值為3，則（Ⅰ）n=

 

；（Ⅱ）對任意a∈R，函數(shù)y=f（x+a）在[0，10π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）根據(jù)正弦函數(shù)的圖象求出函數(shù)的最值，即可求出n，
（Ⅱ）根據(jù)已知推斷區(qū)間的長度為20π，求得函數(shù)的最小正周期，推斷出在此區(qū)間共有多少個(gè)周期，利用每個(gè)周期內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)推斷出共計(jì)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)0≤x≤

π

2

，
則

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，
則當(dāng)2x+

π

6

=

π

2

時(shí)，函數(shù)取得最大值為f（x）=2+n=3，
解得n=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，
∴T=

2π

2

=π，
∴對于區(qū)間[a，a+20π]的長度為20π+a-a=20π，
∴在此區(qū)間上，函數(shù)f（x）可以有20個(gè)周期，
當(dāng)a=-

π

12

+kπ（k∈Z）時(shí)，在第一個(gè)周期內(nèi)恰有3個(gè)零點(diǎn)，以后每個(gè)周期均由2個(gè)零點(diǎn)，則此時(shí)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為：20×2+1=41．
當(dāng)a≠-

π

12

+kπ（k∈Z）時(shí)，在每個(gè)周期內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)，則此時(shí)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為：20×2=40．
綜合得零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為40或41個(gè)，
故答案為：1，40或41．

點(diǎn)評：本題主要考查了三角形恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象與性質(zhì)．求出函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．