Question

（2011•順義區(qū)二模）已知函數(shù)f(x)=2-sin(2x+

π

6

)-2sin2x，x∈R
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，若f(

B

2

)=1，b=1，c=

3

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）把函數(shù)解析式的第二項利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，第三項利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，去括號合并后，再利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值，把函數(shù)解析式化為一個角的余弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式T=

2π

|ω|

，即可求出函數(shù)的最小正周期；
（2）由f（

B

2

）=1，故把x=

B

2

代入第一問化簡后的解析式中，讓其值等于1，化簡后求出cos（B+

π

3

）的值為0，由B的范圍，得到B+

π

3

的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值得出關(guān)于B的方程，求出方程的解得到B的度數(shù)，再由b和c的值，利用正弦定理求出sinC的值，由C為三角形的內(nèi)角，可得出C的度數(shù)有兩解

π

3

或

2π

3

，當C為

π

3

，求出A為直角，此時三角形為直角三角形，根據(jù)勾股定理求出a；當C為

2π

3

，此時三角形為等腰三角形，可得a=b，由b即可求出a．

解答：解：（1）f(x)=2-sin(2x+

π

6

)-2sin2x
=2-(sin2xcox

π

6

+cos2xsin

π

6

)-(1-cos2x)
=1+cos2x-(

3

2

sin2x+

1

2

cos2x)
=

1

2

cos2x-

3

2

sin2x+1
=cos(2x+

π

3

)+1…（5分）
∵ω=2，∴T=

2π

2

=π，
則函數(shù)f（x）的最小正周期為π；
（2）由f(

B

2

)=1得：cos(B+

π

3

)+1=1，即cos(B+

π

3

)=0，
又0＜B＜π，∴

π

3

＜B+

π

3

＜

4

3

π，
∴B+

π

3

=

π

2

，即B=

π

6

，…（9分）
∵b=1，c=

3

，
∴由正弦定理

b

sinB

=

c

sinC

得：sinC=

3

2

，
∴C=

π

3

或

2

3

π，…（11分）
當C=

π

3

時，A=

π

2

，從而a=

b2+c2

=2，
當C=

2π

3

時，A=

π

6

，又B=

π

6

，從而a=b=1，
則a的值為1或2．…（13分）

點評：此題考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，涉及的知識有：兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式，正弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，求函數(shù)最小正周期的關(guān)鍵是利用三角函數(shù)的恒等變換把函數(shù)解析式化為一個角的三角函數(shù)，同時運用正弦定理能很好的建立了三角形的邊角關(guān)系，熟練掌握正弦定理是解第二問的關(guān)鍵．