Question

2．設(shè)點(diǎn)P（x，y）是曲線(xiàn)a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0）上任意一點(diǎn)，其坐標(biāo)（x，y）均滿(mǎn)足$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+2x+1}$+$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}-2x+1}$≤2$\sqrt{2}$，求$\sqrt{2}$a+b的取值范圍．

Answer 1

分析 曲線(xiàn)a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0），對(duì)x，y分類(lèi)討論．畫(huà)出圖象：表示菱形ABCD．由$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+2x+1}$+$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}-2x+1}$≤2$\sqrt{2}$，即$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$≤2$\sqrt{2}$．設(shè)M（-1，0），N（1，0），可得：2|PM|≤2$\sqrt{2}$，|BD|≤2$\sqrt{2}$，解出即可．

解答 解：曲線(xiàn)a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0），
當(dāng)x，y≥0時(shí)，化為ax+by=1；當(dāng)x≥0，y≤0時(shí)，化為ax-by=1；
當(dāng)x≤0，y≥0時(shí)，化為-ax+by=1；當(dāng)x≤0，y≤0時(shí)，
化為-ax-by=1．畫(huà)出圖象：表示菱形ABCD．
由$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+2x+1}$+$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}-2x+1}$≤2$\sqrt{2}$，
即$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$≤2$\sqrt{2}$．
設(shè)M（-1，0），N（1，0），
則2|PM|≤2$\sqrt{2}$，|BD|≤2$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{1+\frac{1}{^{2}}}$≤$\sqrt{2}$，$\frac{2}{a}$≤2$\sqrt{2}$，
解得b≥1，$\sqrt{2}$a≥1，
∴$\sqrt{2}$a+b≥1+1=2．
∴$\sqrt{2}$a+b取值范圍為[2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線(xiàn)方程、分類(lèi)討論思想方法、兩點(diǎn)之間的距離公式，考查了數(shù)形結(jié)合思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．