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已知向量
m
=（sin（A-B），sin(
π
2
-A)），
n
=（1，2sinB），且
m
•
n
=-sin2C，其中A、B、C分別為△ABC的三邊a、b、c所對的角．
（Ⅰ）求角C的大�。�
（Ⅱ）若sinA+sinB=
3
2
sinC，且S△ABC=
3
，求邊c的長．
分析：（I）根據向量數量積的坐標公式，結合題意得
m
•
n
=sin（A+B）=-sin2C，利用二倍角的三角函數公式和誘導公式化簡得cosC=-
1
2
，由此即可算出角C的大��；
（II）根據題意，由正弦定理得到a+b=
3
2
c．由三角形面積公式算出ab=4，再由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC的式子聯(lián)解，即可算出c=
4
5
5
．
解答：解：（Ⅰ）∵向量
m
=（sin（A-B），sin(
π
2
-A)），
n
=（1，2sinB），
∴
m
•
n
=sin（A-B）+2sin(
π
2
-A)sinB=sin（A-B）+2cosAsinB=sin（A+B）
∵
m
•
n
=-sin2C，∴sin（A+B）=-sin2C，
∵sin（A+B）=sn（π-C）=sinC，
∴sinC=-2sinCcosC，
結合sinC＞0，得-2cosC=1，cosC=-
1
2

∵C∈（0，π），∴C=
2π
3
；
（Ⅱ）∵sinA+sinB=
3
2
sinC，
∴由正弦定理得a+b=
3
2
c．
又∵S△ABC=
1
2
absinC=
3
4
ab=
3
，∴ab=4，
由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC=（a+b）2-ab
∴c2=
9
4
c2-ab，可得
5c2
4
=ab=4，解之得c=
4
5
5
．
點評：本題給出向量含有三角函數式的坐標形式，在已知數量積的情況下解△ABC．著重考查了向量的數量積、三角恒等變換和正余弦定理等知識，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
m
=（sinθ，2cosθ），
n
=（
3
，-
1
2
）
（Ⅰ）當θ∈[0，π]時，求函數f（θ）=
m
×
n
的值域；
（Ⅱ）若
m
∥
n
，求sin2θ的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量m=（sinωx，cosωx），n=（cosωx，
3
cosωx）且0＜ω＜2，函數f（x）=m•n，且f（
π
3
）=
3
2
．
（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）將函數y=g（x）的圖象向右平移
π
3
個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的
1
4
，得到函數y=f（x）的圖象，求函數g（x）的解析式及其在[-
π
3
，
π
3
]上的值域．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
m
=（sinωx，1），
n
=（
3
Acosωx，
A
2
cos2ωx）（A＞0，ω＞0），函數f（x）=
m
•
n
的最大值為3，且其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為π．
（I）求函數f（x）的解析式；
（II）將函數y=f（x）的圖象向左平移
π
6
個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的
1
2
倍，縱坐標不變，得到函數y=g（x）的圖象．
（1）求函數g（x）的單調遞減區(qū)間；
（2）求函數g（x）在[
π
4
，
π
2
]上的值域．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量m=(cosθ,sinθ),n=(-sinθ,cosθ),θ∈(π,2π),且|m+n|=,求cos(+)的值.

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