Question

17．在平面直角坐標系xoy中，已知圓C：x²+y²-（6-2m）x-4my+5m²-6m=0，直線l經過點（-1，1），若對任意的實數(shù)m，直線l被圓C截得的弦長都是定值，則直線l的方程為2x+y+1=0．

Answer 1

分析 先將圓的方程化為標準式，求出圓心和半徑，通過分析可以看出，圓心在一條直線m上，若對任意的實數(shù)m，直線l被圓C截得的弦長都是定值，可得直線l與圓心所在直線平行，即可得出結論．

解答 解：將圓C：x²+y²-（6-2m）x-4my+5m²-6m=0化為標準式得
（x-（3-m））²+（y-2m）²=9
∴圓心C（3-m，2m），半徑r=3，
令x=3-m，y=2m，消去m得2x+y-6=0，
∴圓心在直線2x+y-6=0上，
又∵直線l經過點（-1，1），
若對任意的實數(shù)m，直線l被圓C截得的弦長都是定值，
∴直線l與圓心所在直線平行，
∴設l方程為2x+y+C=0，將（-1，1）代入得C=1，
∴直線l的方程為2x+y+1=0．
故答案為：2x+y+1=0．

點評 本題主要考查圓的標準方程，直線和圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．