已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn=2an+(-1)n,n≥1.
(1)寫出數(shù)列{an}的前三項a1,a2,a3;(2)求數(shù)列{an}的通項公式.
解:(1)由a
1=S
1=2a
1-1,得a
1=1;
由a
1+a
2=S
2=2a
2+(-1)
2,得a
2=0;
由a
1+a
2+a
3=S
3=2a
3+(-1)
3,得a
3=2.(6分)
(2)由a
1=S
1=2a
1-1,得a
1=1;
當(dāng)n≥2時,有a
n=S
n-S
n-1=2(a
n-a
n-1)+2×(-1)
n,
即a
n=2a
n-1+2×(-1)
n-1,
只要對a
n=2a
n-1+2×(-1)
n-1的兩邊同除以(-1)
n,得
.
令
,有b
n=-2b
n-1-2,于是
,
∴數(shù)列
是等比數(shù)列,公比q=-2,首項b
1=-1,
,
即
,經(jīng)驗證n=1時也成立,
故有
.
分析:(1)為了計算前三項a
1,a
2,a
3的值,只要在遞推式S
n=2a
n+(-1)
n,n≥1中,對n取特殊值n=1,2,3代入求解即可;
(2)數(shù)列通項公式和前n項和公式之間的關(guān)系式,即an=
,求出a
n=2a
n-1+2×(-1)
n-1,只要對a
n=2a
n-1+2×(-1)
n-1的兩邊同除以(-1)
n,構(gòu)造新的等比數(shù)列進行求解.
點評:本題考查了數(shù)列通項公式和前n項和公式之間的關(guān)系式,即an=
,本題的難點是需要觀察通項公式的特點,再進行構(gòu)造新的等比(等差)數(shù)列,注意驗證n=1時是否成立,這是容易忽視的地方,考查了觀察能力和知識遷移能力.