Question

已知函數(shù)的減區(qū)間是．

⑴試求m、n的值；

⑵求過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的切線方程；

⑶過(guò)點(diǎn)A（1，t）是否存在與曲線相切的3條切線，若存在求實(shí)數(shù)t的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：⑴ 由題意知：的解集為，

  所以，-2和2為方程的根，                 ………………2分

由韋達(dá)定理知  ，即m=1，n=0．          ………………4分

⑵ ∵，∴，∵

  當(dāng)A為切點(diǎn)時(shí)，切線的斜率 ，

∴切線為，即；                 ………………6分

   當(dāng)A不為切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，這時(shí)切線的斜率是，

切線方程為，即   

因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)A（1，-11），  ，∴，

∴ 或，而為A點(diǎn)，即另一個(gè)切點(diǎn)為，

∴ ，

切線方程為 ，即 ………………8分

所以，過(guò)點(diǎn)的切線為或．    …………9分

⑶ 存在滿足條件的三條切線．                                      …………10分

設(shè)點(diǎn)是曲線的切點(diǎn)，

則在P點(diǎn)處的切線的方程為  即

因?yàn)槠溥^(guò)點(diǎn)A（1，t），所以，，   

由于有三條切線，所以方程應(yīng)有3個(gè)實(shí)根，           …………………………11分

設(shè)，只要使曲線有3個(gè)零點(diǎn)即可．

設(shè) =0， ∴ 分別為的極值點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，在和 上單增，

當(dāng)時(shí)，在上單減，

所以，為極大值點(diǎn)，為極小值點(diǎn).

所以要使曲線與x軸有3個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)即，

解得   .                                          …………14分

【解析】略