Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）求在區(qū)間上的值域；

（2）是否存在實數(shù)，對任意給定的，在存在兩個不同的使得，若存在，求出的范圍，若不存在，說出理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）滿足條件的不存在，詳見解析

【解析】

（1）對函數(shù)進行求導，知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，由此能求出的值域；（2）對函數(shù)進行求導，對進行分類討論，當和時，不合題意，求出當時，判斷單調(diào)性，，由（1）知在上值域為，根據(jù)數(shù)形結合思想原題意可等價于，解不等式即可.

（1），時，，單調(diào)遞增，

時，，單調(diào)遞減，

，，，

∴在上值域為.

（2）由已知得，且，

當時，，在上單調(diào)遞增，不合題意。

當時，，在上單調(diào)遞減，不合題意。

當時，得。

當時，單調(diào)遞減，

當時，，單調(diào)遞增，∴.

由（1）知在上值域為，而，

所以對任意，在區(qū)間上總有兩個不同的，使得.

當且僅當，即，

由（1）得.

設，，

，

當，，單調(diào)遞減，∴.

∴無解.

綜上，滿足條件的不存在.