Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）求在區(qū)間上的值域；

（2）是否存在實(shí)數(shù)，對(duì)任意給定的，在存在兩個(gè)不同的使得，若存在，求出的范圍，若不存在，說出理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）滿足條件的不存在，詳見解析

【解析】

（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，由此能求出的值域；（2）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，對(duì)進(jìn)行分類討論，當(dāng)和時(shí)，不合題意，求出當(dāng)時(shí)，判斷單調(diào)性，，由（1）知在上值域?yàn)?/span>，根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想原題意可等價(jià)于，解不等式即可.

（1），時(shí)，，單調(diào)遞增，

時(shí)，，單調(diào)遞減，

，，，

∴在上值域?yàn)?/span>.

（2）由已知得，且，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，不合題意。

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，不合題意。

當(dāng)時(shí)，得。

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，∴.

由（1）知在上值域?yàn)?/span>，而，

所以對(duì)任意，在區(qū)間上總有兩個(gè)不同的，使得.

當(dāng)且僅當(dāng)，即，

由（1）得.

設(shè)，，

，

當(dāng)，，單調(diào)遞減，∴.

∴無解.

綜上，滿足條件的不存在.